RANGKUMAN DAN KUIS MODUL KK_F MATEMATIKA SMP

Baca Juga

Kegiatan 1.1. Ketentuan Pengembangan RPP

Kuis 1

Dalam merancang pembelajaran harus mempertimbangkan prinsip-prinsip pembelajaran. Berikut ini adalah contoh prinsip pembelajaran, kecuali:

A. Pembelajaran berbasis media

B. Pembelajaran terpadu

C. Pembelajaran berbasis kompetensi;

D. Peserta didik difasilitasi untuk mencari tahu

Kuis 2

Supervisi terhadap pengembangan RPP yang dilakukan guru dapat dilakukan oleh pihak berikut, kecuali 

A Komite sekolah

B. Dinas pendidikan

C. Kepala sekolah

D. Pengawas

Apakah dalam satu pertemuan pelaksanaan pembelajaran harus terjadi proses M1 s.d M5 pada pendekatan saintifik? 

A.Tidak harus

B.Harus

Your answer : Tidak harus

Tidak harus. Lihat pasal 2 ayat 9 Permendikbud Nomor 103 Tahun 2014 dan lampirannya yang terkait komponen dan sistematika RPP.
Ketika menyusun RPP hendaknya dengan sadar sudah diperhitungkan apakah kegiatan yang didesain akan menjadikan M1 sd M5 selesai dalam satu pertemuan atau tidak.
Bila proses M1 s.d M5 didesain untuk terjadi pada lebih dari satu pertemuan maka hendaknya pertemuan berikutnya berjarak tidak terlalu lama agar proses M sebelumnya masih mudah di recall. Untuk itu perlu difasilitasi penyusunan jadwal yang antar pertemuannya tidak terlalu jauh.

Rangkuman 

Ketentuan Pengembangan RPP.

Pembelajaran pada Dikdasmen dinyatakan bahwa pembelajaran merupakan suatu proses pengembangan potensi dan pembangunan karakter setiap peserta didik sebagai hasil dari sinergi antara pendidikan yang berlangsung di sekolah, keluarga dan masyarakat.

Prinsip pembelajaran yang mendidik dan berkualitas: 

1. Peserta didik difasilitasi untuk mencari tahu; 
2. Peserta didik belajar dari berbagai sumber belajar;
3. Proses pembelajaran menggunakan pendekatan ilmiah; 
4. Pembelajaran berbasis kompetensi; 
5. Pembelajaran terpadu; 
6. Pembelajaran yang menekankan pada jawaban divergen yang memiliki kebenaran multi dimensi;
7. Pembelajaran berbasis keterampilan aplikatif; 
8. Peningkatan keseimbangan, kesinambungan, dan keterkaitan antara hard-skills dan soft-skills;
9. Pembelajaran yang mengutamakan pembudayaan dan pemberdayaan peserta didik sebagai pembelajar sepanjang hayat; 
10. Pembelajaran yang menerapkan nilai-nilai dengan memberi keteladanan (ing ngarso sung tulodo), membangun kemauan (ing madyo mangun karso), dan mengembangkan kreativitas peserta didik dalam proses pembelajaran (tut wuri handayani); 
11. Pembelajaran yang berlangsung di rumah, di sekolah, dan di masyarakat; 
12. Pemanfaatan teknologi informasi dan komunikasi untuk meningkatkan efisiensi dan efektivitas pembelajaran; 
13. Pengakuan atas perbedaan individual dan latar belakang budaya peserta didik; 
14. Suasana belajar menyenangkan dan menantang

Setiap guru di setiap satuan pendidikan, termasuk guru Matematika SMP/MTs berkewajiban menyusun RPP untuk kelas di mana ia mengajar. Penyusunannya dilakukan sebelum awal semester atau awal tahun pelajaran dimulai, namun perlu diperbaharui sebelum pembelajaran dilaksanakan.

Komponen RPP mencakup: 

1. Identitas sekolah/madrasah, mata pelajaran, dan kelas/semester; 
2. Alokasi waktu;
3. Ki, kd, indikator pencapaian kompetensi;
4. Materi pembelajaran; 
5. Kegiatan pembelajaran; 
6. Penilaian; dan 
7. Media/alat, bahan, dan sumber belajar.

Prinsip penyusunan RPP: 

1. Setiap RPP harus secara utuh memuat kompetensi dasar sikap spiritual (KD dari KI-1), sosial (KD dari KI-2), pengetahuan (KD dari KI-3), dan keterampilan (KD dari KI-4); 
2. Satu RPP dapat dilaksanakan dalam satu kali pertemuan atau lebih; 
3. Memperhatikan perbedaan individu peserta didik; 
4. RPP disusun dengan memperhatikan perbedaan jenis kelamin, kemampuan awal, tingkat intelektual, minat, motivasi belajar, bakat, potensi, kemampuan sosial, emosi, gaya belajar, kebutuhan khusus, kecepatan belajar, latar belakang budaya, norma, nilai, dan/atau lingkungan peserta didik; 
5. Berpusat pada peserta didik;
6. Berbasis konteks;
7. Berorientasi kekinian; 
8. Mengembangkan kemandirian belajar Pembelajaran yang memfasilitasi peserta didik untuk belajar secara mandiri; 
9. Memberikan umpan balik dan tindak lanjut pembelajaran; 
10. Memiliki keterkaitan dan keterpaduan antarkompetensi dan/atau antar muatan; 
11. Memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi

Kegiatan 1.2. Pemetaan Muatan atau Isi RPP

Kuis 1

Dalam satu kali pertemuan pembelajaran, dapat terjadi hal-hal berikut, kecuali

A.Siswa harus tuntas dalam belajar kompetensi pengetahuan beserta keterampilan yang relevan

B.Siswa dapat belajar kompetensi pengetahuan dan langsung diikuti belajar kompetensi keterampilan yang relevan

C.Siswa hanya belajar kompetensi pengetahuan saja

D.Siswa hanya belajar kompetensi keterampilan saja

Your answer : siswa harus tuntas dalam belajar kompetensi pengetahuan beserta keterampilan yang relevan.

Dalam satu pertemuan, dapat terjadi siswa hanya belajar kompetensi pengetahuan saja, dan hal ini biasa terjadi pada pertemuan-pertemuan awal dari serangkaian pertemuan pembelajaran dengan ruang lingkup materi satu topik atau satu bab buku siswa yang muatan KD pengetahuannya cukup padat. Dapat terjadi dalam satu pertemuan siswa belajar kompetensi pengetahuan langsung diikuti belajar kompetensi keterampilan yang relevan. Hal ini terjadi karena muatan kompetensi pengetahuannya memungkinkan atau menuntut untuk segera dilakukan penerapan dalam bentuk pemecahan masalah matematika. Dapat terjadi dalam satu pertemuan siswa hanya belajar kompetensi keterampilan, dan ini biasa terjadi pada pertemuan-pertemuan di belakang dari serangkaian pertemuan pembelajaran dengan ruang lingkup materi satu topik atau satu bab buku siswa yang muatan KD keterampilannya cukup padat.

Kuis 2

Dalam rangka mencapai target kemampuan yang telah ditetapkan oleh guru dengan indikator tertentu, siswa melakukan aktivitas belajar. Dalam beraktivitas tersebut siswa melakukan interaksi dengan siswa lain dan dengan guru. Bentuk interaksi disesuaikan dengan beberapa hal berikut, kecuali :

A.karakteristik kemampuan yang akan dicapai

B.kondisi guru

C.kondisi siswa

D.latar belakang orangtua siswa

Kuis 3

Teknik penilaian untuk mengukur kompetensi ranah pengetahuan yang dapat menggunakan penilaian berikut ini kecuali

A.Tes lisan

B.Proyek

C.Penugasan individu maupun kelompok

D.Tes tertulis

Rangkuman 

PEMETAAN MUATAN ATAU ISI RPP

Kegiatan mengidentifikasi kemampuan yang dipelajari siswa dan muatan materi pembelajarannya bermanfaat untuk memandu kita dalam kegiatan mengembangkan komponen indikator pencapaian kompetensi, uraian materi pembelajaran, aktivitas kegiatan belajar siswa, dan pemilihan alat/bahan/sumber belajar/media pembelajaran yang akan digunakan. 

Kegiatan mengidentifikasi teknik penilaian dan bentuk instrumen yang akan digunakan bermanfaat dalam pengembangan komponen penilaian proses dan hasil belajar siswa.

Pemetaan dalam hal: kemampauan yang dipelajari siswa dan muatan materi pembelajarannya, indikator pencapaian kompetensi, macam interaksi siswa, pemilihan alat/bahan/sumber belajar/media yang digunakan, teknik penilaian dan bentuk instrumen yang digunakan dan fokus sikap yang akan ditumbuhkan selama proses pembelajaran pada tiap pertemuan, dari pertemuan pertama sampai dengan terakhir, diharapkan dapat memudhkan kita dalam mewujudkan RPP yang muatannya memiliki benang merah. RPP yang muatan komponennya memiliki benang merah, diharapkan akan menghasilkan proses belajar yang berkualitas dan hasil yang optimal pada diri siswa.

Kegiatan 1.3. Penyusunan RPP Matematika

Kuis 1

Penentuan strategi pembelajaran remedial dapat dilakukan pada waktu

A.awal pembelajaran

B.sebelum penilaian

C.setelah penilaian

SESI 2 : DASAR GEOMETRI

Kegiatan 2.1. Dasar-Dasar Geometri

KUIS 1

Untuk memantapkan pemahaman anda mengenai materi kegiatan pembelajaran ini, jawablah beberapa pertanyaan di bawah ini.

1. Apa yang dimaksud Geometri Euclid?
2. Apa yang dimaksud pengertian pangkal?, Aksioma/postulat?
3. Jelaskan pengertian Definisi!
4. Jelaskan pula yang dimaksud dengan dalil.

Kegiatan 2.2. Garis dan Sudut

Kedudukan dua garis

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak berhingga.

Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong.

Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat satu garis lurus saja.

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila diperpanjang.

Kuis 1

Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang saling bertolak belakang adalah sama besar.

Hubungan antar sudut :

Jumlah dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen) adalah 180°. 

Sudut yang satu merupakan pelurus dari sudut yang lain.

Jumlah dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen) adalah 90°. 

Sudut yang satu merupakan penyiku dari sudut yang lain.

Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang saling bertolak belakang.

Dua sudut yang saling bertolak belakang adalah sama besar

KUIS 2

Sudut α saling berpenyiku terhadap sudut β. Jika sudut α = 79º, berapakah nilai sudut β?

A.1º

B.79º

C.101º

D.11º

Kaitan antara sudut x dengan sudut 180º-x adalah :

A.Sudut yang saling berpenyiku

B.Sudut yang saling berpelurus

C.Sudut bertolak belakang

KUIS 3

Kaitan antara sudut x-10º dan sudut 100º - x adalah

A.Sudut bertolakbelakang

B.Sudut yang saling berpelurus

C.Sudut yang saling berpenyiku

KUIS 4

Perhatikan gambar di bawah ini

POR adalah garis lurus. Nilai a adalah ...

55º

50º

40º

45

Kuis 5

Jika besar sudut ∠ AEC = 45°, maka besar ∠ CEB adalah ....

A.45°

B.135°

C.145°

D.125°

Kuis 6

Sebutkan kelompok sudut yang memiliki nilai yang selalu sama.

Sudut-Sudut Sehadap dan Berseberangan.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama. Jadi, dapat dituliskan

1. ∠P1 sehadap dengan ∠Q1 dan ∠P1 = ∠Q1;
2. ∠P2 sehadap dengan ∠Q2 dan ∠P2 = ∠Q2;
3. ∠P3 sehadap dengan ∠Q3 dan∠P3 = ∠Q3;
4. ∠P4 sehadap dengan ∠Q4 dan ∠P4 = ∠Q4.

Sekarang perhatikan pasangan sudut P1 dan sudut Q3, serta sudut P2 dan sudut Q4.
Pasangan sudut tersebut adalah sudut-sudut luar berseberangan, di mana sudut P1 = sudut Q3 dan sudut P2 = sudut Q4.
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luar berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.

Sudut-Sudut Dalam Sepihak dan Luar Sepihak

Perhatikan gambar di atas. Pada gambar tersebut garis m // n dipotong oleh garis l di titik P dan Q. Perhatikan sudut P3 dan sudut Q2. Kedua sudut tersebut terletak di dalam garis m dan n serta terhadap garis l keduanya terletak di sebelah kanan (sepihak). Pasangan sudut tersebut dinamakan sudut-sudut dalam sepihak. Dengan demikian diperoleh:

1. ∠P3 dalam sepihak dengan ∠Q2;
2. ∠P4 dalam sepihak dengan ∠Q1.

Sekarang perhatikan gambar berikut.

Perhatikan kembali ∠P1 dengan ∠Q4 dan ∠P2 dengan ∠Q3 pada Gambar di atas. Pasangan sudut tersebut disebut sudut-sudut luar sepihak.

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180°.

Sebagai contoh, ∠P1 dan ∠Q4 (pada gambar di atas) adalah pasangan sudut luar sepihak. ∠P1 + ∠ Q4 = 180°.

Hubungan antarsudut jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain

A.Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama.

B.Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besar sudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.

C.Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luarberseberangan yang terbentuk adalah sama besar.

D.Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180°.

E.Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180°.

KUIS 7

Tiga buah garis masing-masing k, l dan m dalam susunan seperti gambar berikut.

Garis k adalah sejajar dengan garis l dan garis m memotong garis k dan l.

Tentukan:

a) sudut-sudut yang sehadap

b) sudut-sudut yang bertolak belakang

c) sudut-sudut yang berseberangan dalam

d) sudut-sudut yang berseberangan luar

e) sudut-sudut dalam sepihak

f) sudut-sudut luar sepihak

g) sudut-sudut berpelurus

Pembahasan

a) sudut-sudut sehadap adalah:

1. ∠A1 dengan ∠B1
2. ∠A4 dengan ∠B4
3. ∠A2 dengan ∠B2
4. ∠B3 dengan ∠B3 

b) sudut-sudut bertolak belakang

1. ∠A1 dengan ∠A3
2. ∠A2 dengan ∠A4
3. ∠B1 dengan ∠B3
4. ∠B2 dengan ∠B4

c) sudut-sudut berseberangan dalam (dalam berseberangan)

1. ∠A3 dengan ∠B1
2. ∠A4 dengan ∠B2

d) sudut-sudut berseberangan luar

1. ∠A2 dengan ∠B4
2. ∠A1 dengan ∠B3

e) sudut-sudut dalam sepihak

1. ∠A3 dengan ∠B2
2. ∠A4 dengan ∠B1

f) sudut-sudut luar sepihak

1. ∠A2 dengan ∠B3
2. ∠A1 dengan ∠B4

g) sudut-sudut berpelurus

1. ∠A1 dengan ∠A2
2. ∠A1 dengan ∠A4
3. ∠A2 dengan ∠A3
4. ∠A3 dengan ∠A4
5. ∠B1 dengan ∠B2
6. ∠B1 dengan ∠B4
7. ∠B2 dengan ∠B3
8. ∠B3 dengan ∠B4

KUIS 8

Sudut berikut memiliki nilai yang sama dengan nilai sudut K2, kecuali...

A.L4

B.L3

C.L2

D.K4

KUIS 9

jika p dan q adalah garis sejajar, berapakan nilai sudut A dan sudut B?

Pembahasan

Sudut A dan B berseberangan dalam sehingga besarnya adalah sama. Maka

5x − 10 = 3x + 20

2x = 30 

x = 15

∠A = 3x + 20 = 3(15) + 20 = 65°

∠B = 5x − 10 = 5(15) − 10 = 65° 

KUIS 10

Sudut P pada gambar di atas besarnya adalah 45° dan sudut Q adalah 25 °.

Tentukan besar sudut R jika garis kanan dan kiri adalah sejajar!

A.800.

B.700

C.600

D.900.

KUIS 11 

Sudut P pada gambar di atas besarnya adalah 45° dan sudut Q adalah 25 °.

Tentukan besar sudut R jika garis kanan dan kiri adalah sejajar!

Gunakan garis bantu yang sejajar dua garis di kiri dan kanan dan membagi sudut R menjadi dua sudut sama besar.

Kegiatan 3.1 Segitiga dan Segiempat.

Segitiga

1. Pengertian Segitiga

Segitiga terbentuk oleh tiga ruas garis yang seiap ujungnya bersekutu dengan sebuah ujung ruas garis lainnya. Pesekutuan-persekutuan tersebut membentuk (tiga) buah titik sudut segitiga. Ruas garis semula membentuk sisi-sisi segitiga. Ketiga ruas garis melingkupi sebuah daerah segitiga”. Jumlah ketiga panjang ruas garis dinamakan keliling segitiga tersebut.
Ukuran besar daerah segitiga merupakan ukuran luas daerah segitiga yang secara singkat dinamakan luas segitiga.

Jika segitiganya dinamakan ABC, maka panjang sisi-sisi ΔABC di hadapan sudut A, B, dan Ç berturut-turut dilambangkan dengan a, b, dan c. Salah satu cara menamai sudut pada titik sudut A, B, dan C. berturut-turut adalah α, β, dan γ.

KUIS 1

Pada kegiatan belajar kita akan mempelajari tentang jenis-jenis segiempat dan prinsip-prinsip terkait segiempat. Pada beberapa bagian ini Anda dapat melakukan investigasi/pengamatan dengan menggunakan media interaktif GeoGebra.
Pada beberapa komputer GeoGebra memerlukan loading selama beberapa waktu. Tunggulah sampai media GeoGebra ini terbuka secara sempurna sebelum Anda dapat mengeksplorasi objek dalam GeoGebra tersebut. 

Sebelum melangkah lebih lanjut, kerjakan soal latihan berikut ini. 

1. Persegipanjang adalah jajargenjang yang … 
2. Belah ketupat adalah layang-layang yang … 
3. Belah ketupat adalah jajar genjang yang … 
4. Persegi adalah jajar genjang yang …
5. Persegi adalah belah ketupat yang … 
6. Persegi adalah persegipanjang yang …

Ada beberapa macam segiempat yang memiliki sifat khusus, yaitu:

1. Jajargenjang, ialah segiempat yang setiap pasang sisinya yang berhadapan sejajar.
2. Jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku disebut persegipanjang (Catatan: Dengan adanya satu sudut siku-siku, maka dengan sendirinya berakibat semua sudutnya siku-siku)
3. Persegipanjang yang semua sisinya sama panjang disebut persegi
4. Jajar genjang yang keempat sisinya sama panjang dinamakan belahketupat
5. Belahketupat yang mempunyai sudut siku-siku disebut persegi.
6. Layang-layang ialah segiempat yang mempunyai tepat dua pasang sisi yang bersisian sama panjang (Clemens, 1984: 115).
7. Trapesium ialah segiempat yang mempunyai tepat sepasang sisi sejajar.

Sisi-sisi yang tidak sejajar dinamakan kaki-kaki trapesium.

1. trapesium yang salah satu titik sudutnya siku-siku disebut trapesium siku-siku.
2. trapesium yang kedua kakinya sama panjang dinamakan trapesium sama kaki.

Kegiatan 3.2 Keliling dan Luas Segitiga dan Segiempat

TIDAK ADA KUIS

Kegiatan 3.3 Konsep Lingkaran dan daerah Lingkaran.

 

 

 

Pada sebuah lingkaran, jarak dari pusat sebuah lingkaran ke sebuah talibusur yang panjangnya 126 mm adalah 16 mm. Berapakah jarak pusat ke talibusur yang panjangnya 66 mm? 

Misal AB = 216 mm, PB = 16mm, FD = 66 mm.

Ingat apotema menggambarkan jarak antara pusat lingkaran ke talibusur yang bersangkutan. Karena PB tegaklurus AB maka AB=BC (sifat apotema yang memotong tegak lurus tali busur). Dengan teorema pythgoras, dalam segitiga PBC Anda dapat menghitung PC yang merupakan jari-jari lingkaran. Dengan dasar yang sama maka ED adalah setengah FD. Karena PD juga jari-jari lingkaran yang panjangnya sudah diketahui, Anda dapat dapat menghitung panjang PE dalam segitiga PED menggunakan teorema Pythagoras.

Dalam sebuah lingkaran, panjang busur di hadapan sudut 45° adalah 33 mm dan luas juring yang bersangkutan 198 mm2. Hitunglah panjang busur dan luas juring di hadapan sudut (i) 210° (ii) 30°

Karena dalam sebuah lingkaran, besar sudut pusatnya sebanding dengan panjang busur, dan luas juringnya yang bersesuaian letaknyamaka dengan perbandingan senilai Anda dapat menghitung panjang busur dan luas juring di hadapan sudut 210° dan 30°.

Sebuah talibusur dari sebuah lingkaran yang panjangnya 48 cm berjarak 7 cm dari pusat lingkaran. Berapa panjang talibusur yang berjarak 15 cm dari pusat?

A.30 cm

B.20 cm

C.50 cm

D.40 cm

Sebuah talibusur dari sebuah lingkaran yang panjangnya 48 cm berjarak 7 cm dari pusat lingkaran. Berapa panjang talibusur yang berjarak 15 cm dari pusat?

Jawab : 40 cm

Pada sebuah lingkaran, talibusur pertama panjangnya 102 mm berjarak 68 mm dari pusat.
Talibusur kedua sejajar dengan yang pertama, berjarak 108 mm.
Berapakah panjang talibusur kedua? 

A.120 mm

B.160 mm

C.150 mm

D.155 mm

Jika sebuah lingkaran memiliki diamater sepanjang 30 cm, maka berapakah luas dan keliling dari lingkaran tersebut?

Pembahasan:

pertama-tama kita harus mengetahui jari-jari dari lingkaran tersebut.

jika diameter = 30 cm maka jari-jari = 15 cm

baru kita masukkan ke dalam rumus mencari keliling lingkaran:

K = 2πr

K = 2 x 22/7 x 30

K = 188,5 cm

Sekarang kita cari luas lingkaran dengan rumus berikut:

L = πr2

L = 22/7 x 15 x 15

L = 22/7 x 225

L = 707,14 m2

Terdapat sebuah taman yang berbentuk lingkaran yang memiliki keliling 132 m. 

Berapakah luas keseluruhan dari taman tersebut?

(Catatan: Gunakan nilai pi = 22/7)

Pembahasan:

Untuk mencari luas lingkaran kita harus mengetahui jari-jarinya terebih dahulu. karena yang diketahui adalah keliling lingkaran, maka kita bisa mengetahui jari-jarinya dengan rumus:

K = 2πr

132 m = 2 x (22/7) x r

132 m = 44r/7

3 m = r/7

r = 21 m

Setelah jari-jarinya diketahui barulah kita bisa mencari luasnya:

L = πr²

Ada sebuah lingkaran berada tepati ditengah-tengah sebuah persegi. apabila panjang persegi tersebut adalah 35cm, coba kalian tentukan luas persegi, keliling lingkaran, serta luas dari lingkaran tersebut! (Gunakan π = 22/7)

Pembahasan:

Luas persegi kita cari dengan rumus:

Luas Persegi = s2

Luas Persegi = 352

Luas Persegi = 1225 cm²

Sekarang kita cari luas lingkaran tersebut:

karena posisi lingkaran tepat berada ditengah persegi maka diameternya sama dengan panjang sisi persegi yaitu 35cm. berarti jari-jari dari lingkaran itu adalah 12,5 cm

Luas lingkaran = πr²

Luas lingkaran = 22/7 x 12,52

Luas lingkaran = 491,07 cm²

Setelah itu cari kelilingnya:

Keliling Lingkaran = 2πr

Keliling Lingkaran = 2 x 22/7 x 12,5

Keliling Lingkaran = 78,57 cm

Andi berangkat ke sekolah menaiki sepeda beroda satu. Jika diameter roda sepeda adalah 50 cm dan Budi sampai di sekolah setelah roda menggelinding sebanyak 1500 putaran, perkirakan jarak rumah Andi ke sekolah!
(Catatan: Gunakan nilai π=3,14)

Pembahasan

Diameter roda D = 50 cm

Keliling roda 

Keliling = π D = 3,14 × 50 = 157 cm

Roda berputar sebanyak 1500 kali, panjang lintasan atau jarak yang ditempuh roda adalah banyak putaran dikalikan keliling roda, sehingga: 

Jarak = 1500 × keliling roda = 1500 × 157 cm = dst.

Perhatikan gambar berikut:

Berapa luas bangun tersebut?

Pembahasan

Luas daerah arsiran adalah luas persegipanjang

ditambah dengan luas setengah lingkaran yang berjari-jari 3,5 cm.

 

Coba amati gambar berikut ini:

 

Jika diketahui keliling persegi yang ada di dalam lingkaran adalah 84cm maka berapakah luas persegi dan luas lingkaran tersebut?

Pembahasan:

untuk mencari luas persegi ketika kelilingnya sudah diketahui kita bisa menggunakan rumus berikut:

Luas persegi = K2/16

Luas persegi = (84)2/16

Luas persegi = 441 cm²

kemudian, untuk mencari luas dari lingkaran kita harus mengetahui berapa panjang jari-jari atau diameternya. pada gambar di atas, kita bisa melihat bahwa diameter lingkaran sama dengan panjang sisi persegi. maka kita cari dahulu panjang sisi persegi dengan rumus berikut:

s = K/4

s = 84 cm/4

s = 21 cm

Karena panjang sisi persegi adalah 21cm maka diameter lingkarannya adalah 21cm berarti jari-jarinya adalah 21/2 = 11,5 cm.

sekarang kita dapat melanjutkan untuk mencari luas lingkarannya.

Perhatikan gambar di atas!
ABCD adalah persegi dengan panjang AB = 50 cm. 

Berapakah luas daerah yang berwarna biru?

Bangun ABCD tersebut berbentuk persegi, sehingga diameter lingkaran adalah 50 cm dan jari-jarinya 25 cm. Luas dua segitiga yang ada dalam lingkaran adalah

= luas dua segitiga

= 2 x (alas x tinggi)/2

= 25 x 25 = 625 cm²

Luas daerah yang diarsir adalah luas lingkaran dikurangi luas dua segitiga tersebut.

Luas lingkaran adalah 3,14 x 252 cm²

Sebuah titik T berada di luar lingkaran dan jarak titik tersebut ke pusat lingkaran adalah 10 cm. Jari-jari lingkaran tersebut adalah 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung dari titik T terhadap lingkaran.

Penyelesaian:

Diketahui OT = 10 cm, r = 6 cm, dan garis singgung lingkaran adalah TA. Karena TAO siku-siku di A maka dengan menggunakan dalil phytagoras diperoleh:

TA² = OT² – OA²

TA² = 10² –6²

TA² = 100 – 36

TA² = 64

TA = √64 = 8

Jadi, panjang garis singgung lingkaran tersebut adalah 8 cm.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui jari-jari OR = OQ = 5 cm dan jarak PO = 13 cm. hitunglah panjang tali busur QR!

Perhatikan ΔPRO

PR² = OP² – OR²

PR² = 13² – 5²

PR² = 169 – 25

PR² = 144

PR = √144 = 12

Luas daerah ΔPRO = 1/2 x alas x tinggi

Luas daerah ΔPRO = ½ x 5 x 12

Luas daerah ΔPRO = 30 cm2

Luas daerah layang-layang PQOR = 2 x 30 cm2 = 60 cm²

Luas daerah layang-layang PQOR = 1/2 x diagonal x diagonal

60 = 1/2 x OP x QR

60 = 1/2 x 13 x QR

QR = 120/13 = 9,2

Jadi, panjang tali busur QR adalah 9,2 cm

Kegiatan 4.1 Kekongruenan dan Kesebangunan.

Perhatikan kedua bangun segitiga di atas. Setelah melakukan investigasi menggunakan media di atas, apa yang dapat Anda simpulkan terkait dua bangun datar yang kongruen dan sebangun, khususnya bangun segitiga.

  
Menurut Anda apakah bedanya "sama" dan "kongruen" ?

Setelah melakukan eksplorasi menggunakan media di atas, jawablah pertanyaan berikut. Apakah sifat-sifat pada dua buah segitiga yang sebangun.

Kegiatan 4.2 Teorema Pythagoras

Perhatikan animasi di atas. (Jika animasi berhenti klik gambar animsi tersebut untuk menjalankan). Apa yang dapat Anda simpulkan dari tayangan di atas terkait tiga wadah air berbentuk persegi tersebut?
Tuliskan jawaban Anda secara singkat pada kolom jawaban berikut!

1. Pengertian Teorema Pythagoras 

Bangun datar yang telah banyak dikenal antara lain segitiga. Salah satu bentuk segitiga yang khusus berupa segitiga siku-siku. Setiap persegipanjang dapat dipandang dibentuk oleh dua buah segitiga siku-siku, dapat dibentuk oleh dua buah segitiga siku-siku. Karena itu, pemahaman dan keterampilan mengenai segitiga siku-siku merupakan kompetensi dasar dalam pelajaran geometri. Salah satu sifat dasar itu dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Secara induktif dan sederhana, Teorema Pythagoras sudah dikenalkan di SD, dan dikembangkan lebih lanjut di SMP. 

Dalam bahasa Indonesia, istilah ”teorema” sering ditulis dengan nama ”dalil”.
Karena itu, pada beberapa literatur ”Teorema Pythagoras” kadang disebut dengan nama ”Dalil Pythagoras”.
Teorema Pythagoras adalah pernyataan yang selalu bernilai benar.
Namun dalam matematika, banyak pernyataan yang selalu bernilai benar namun tidak dikenal dengan sebutan ”teorema”.
Istilah ”teorema” biasanya untuk pernyataan yang memang benar-benar dipandang penting.
Contoh sederhana mengenai pernyataan yang selalu bernilai benar misalnya: ”Jumlah dua bilangan ganjil merupakan bilangan genap”.
Pernyataan ini selalu bernilai benar.
Ini dapat dibuktikan dengan memisalkan bilangan ganjil sebagai 2k + 1, dengan k bilangan asli. Walaupun pernyataan di atas selalu bernilai benar tetapi kita tidak mengenalnya sebagai “teorema” karena dianggap mudah (sehingga tidak terlalu penting untuk diberi nama teorema). 

Berbeda dengan Teorema Pythagoras.
Pernyataan yang disebut Teorema Pythagoras penting dalam matematika, baik karena sifatnya yang menarik (atau menakjubkan) maupun karena dapat merupakan pijakan untuk mengembangkan teorema-teorema lain yang lebih penting maupun mengembangkan topik matematika yang lainnya. 

Seperti teorema umumnya yang berbentuk implikasi, ”jika ... maka ...”, maka Teorema Pythagoras pun mengambil bentuk implikasi.
Teorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan berbagai macam cara.
Namun demikian, konsep yang dinyatakan tetap sama. Berikut beberapa alternatif untuk menyatakan Teorema Pyhagoras.

Beberapa versi Teorema Pythagoras

Versi 1. 

“Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (atau hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain (sisi-sisi penyiku)” 

Versi 2. 

“Jika segitiga ABC dengan C sudut siku-siku dan a, b, c berturut-turut panjang sisi di depan sudut A, B, dan C maka berlaku a² + b²  = c² ” 

Kesemua versi di atas termasuk versi aljabar Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan bahasa geometris, seperti di bawah ini.

Versi 3. 

“Jika segitiga ABC siku-siku di C maka luas persegi yang sisinya c sama dengan jumlah luas persegi yang sisi-sisinya a dan b”. 

Versi 4. 

“Jika segitiga ABC siku-siku maka luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi yang lain”. 

Tentu Anda dapat pula menyatakan Teorema Pythagoras dengan lambang segitiga DEF, PQR atau yang lainnya. Hanya saja konvensi atau kebiasaan di dalam matematika menggunakan lambang segitiga ABC dengan sudut C siku-siku. 

Lalu, apa yang disebut “Rumus Pythagoras”?
Yang perlu dipahami adalah pengertian “rumus” atau “formula”. Umumnya yang disebut rumus dalam matematika adalah suatu pernyataan aljabar (menggunakan lambang) baik berupa kesamaan maupun ketidaksamaan.
Dengan demikian, apa yang disebut Rumus Pythagoras adalah kesamaan:
a² + b² = c². 
Jadi jelas bahwa Rumus Pythagoras bukan Teorema Pythagoras, tetapi Teorema Pythagoras memuat Rumus Pythagoras baik secara implisit maupun eksplisit.

2.Tripel Pythagoras

Pasangan bilangan real a, b, dan c yang memenuhi Rumus Pythagoras a2 + b2 = c2, ada tak hingga banyaknya.
Hal menarik yang dapat dieksplorasi adalah berapa saja rangkaian 3 bilangan bulat positif yang memenuhi Rumus Pythagoras? Bila dicoba dengan 2 bilangan bulat positif (atau bilangan asli) yang sama maka dapat dipastikan bilangan ketiga bukan bilangan asli. Lalu, rangkaian 3 bilangan asli yang mana saja yang memenuhi Rumus Pythagoras? Ketiga rangkaian 3 bilangan asli ini disebut Tripel Pythagoras. Sebagai contoh adalah (3, 4, 5). Untuk penulisannya, umumnya dimulai dengan bilangan asli yang lebih kecil. 

Sudah sejak lama orang mengenal Tripel Pythagoras, bahkan diduga kuat orang Mesir Kuno dan Babilonia kuno telah akrab dengan salah satu tripel yaitu (3,4,5). Dengan tripel ini, mereka dapat dengan mudah membuat sudut siku-siku. Bahkan termasuk membentuk sudut siku-siku pada piramida di Mesir. Beberapa Tripel Pythagoras yang biasa telah dikenal di sekolah selain (3, 4, 5) antara lain: (6,8,10), (5,12,13), (7,24,25), dan (8,15,17). 

Secara umum dikenal dua jenis Tripel Pythagoras: Tripel Pythagoras Primitif atau Tripel Pythagoras Dasar dan Tripel Pythagoras yang bukan primitif. Tripel Pythagoras primitif yaitu tripel Pythagoras yang semua bilangannya memiliki FPB (faktor persekutuan terbesar) sama dengan 1. Dengan kata lain, tripel Pythagoras priitif adalah tripel Pythagoras yang prima relatif. Contoh Tripel Pythagoras primitif adalah (3,4,5) dan (5,12,13), dan contoh Tripel Pythagoras non-primitif adalah (6,8,10) dan (10,24,25). Jelas dengan demikian, setiap Tripel Pythagoras non-primitif merupakan kelipatan dari

Tripel Pythagoras primitif. 

Contoh. (6,8,10) = (2 × 3,2 × 4,2 × 5) yang cukup kita tulis 2 × (3,4,5) 

Untuk mendapatkan sebarang tripel Pythagoras, maka diperlukan suatu rumus atau aturan. Dengan membentuk tripel Pythagoras yang berbeda, maka masalah yang dapat diajukan ke siswa menjadi semakin bervariasi. 

Berikut ini, sebuah rumus yang cukup sederhana. 
2m, m² – 1, m² + 1 dengan m sebarang bilangan asli lebih dari 1

Dapatkah Anda membuktikan bahwa rumus di atas benar ?

Berikut ini bukti bahwa rumus di atas benar.

            (2m)² + (m² – 1)²     ­    =  4m² + m⁴ – 2m² + 1

                                =  m⁴ + 2m² + 1

                                =  (m² + 1)²   

Dengan rumus di atas, dapat dibentuk tripel Pythagoras yang memuat bilangan asli tertentu. Misalkan ingin dibentuk Tripel Pythagoras dengan salah satu bilangan 50. 

Misal 2m = 50 sehingga m =25 maka m²– 1 = 624 dan m² + 1 = 626.
Diperoleh Tripel Pythagoras (50, 624, 626).
Jika dimisalkan m² + 1 = 50 diperoleh m = 7 sehingga 2m = 14 dan m2 − 1= 48.
Diperoleh sebuah Tripel Pythagoras (14, 48, 50).
Terlihat bahwa (14, 48, 50) = 2 × (7,24,25). 

Berikut ini lembar kerja animasi GeoGebra untuk membangkitkan tripel Pythagoras yang lebih kompleks.

3. Pembuktian Teorema Pythagoras 

Suatu pernyataan, tentu bernilai benar atau salah. Teorema Pythagoras adalah pernyataan yang bernilai benar. Namun bagaimana dapat meyakinkan jika belum ada buktinya? Dalam pembelajaran matematika di SD, pembuktian dilakukan secara intuitif dan bahkan secara induktif. Namun di tingkat SMP, pembuktian Teorema Pythagoras sudah seharusnya bersifat deduktif, yang tentu saja dipilih dengan cara atau metode yang relatif dapat dipahami siswa. Semua ini pada akhirnya bersesuaian dengan tujuan pembelajaran matematika yang salah satunya agar siswa dapat berpikir logis, kritis, kreatif, cermat, dan tepat. 

Pembelajaran matematika tanpa bukti, sama saja dengan menganggap matematika sebagai dogma sehingga tidak memberi kesempatan siswa untuk menalar. Oleh karena itu, pembelajaran suatu “teorema” dalam matematika semestinya pula disertai pembelajaran pembuktiannya. 

Walaupun Teorema Pythagoras telah dikenal sejak jaman Babilonia, namun buktinya diketahui pertamakali pada literatur dari perguruan Pythagoras sehingga teorema tersebut lalu dikenal sebagai Teorema Pythagoras. Ada banyak cara membuktikan Teorema Pythagoras, bahkan sebuah buku klasik terbitan AMS (American Mathematics Society) pernah memuat lebih dari 350 macam bukti. 

Berikut ini beberapa bukti yang cukup relevan dan terkenal.
Beberapa bukti Teorema Pythagoras tersebut menggunakan beberapa cara yang berbeda. Keragaman cara pembuktian ini akan mempermudah pemahaman bagi siswa dan dapat menyesuaikan dengan kebutuhan dan kemampuan siswa. 

1.Bukti diagram dari Pythagoras

Bukti dari Pythagoras (atau Perguruan Pythagoras) berupa bukti dengan diagram dan termasuk salah satu bukti yang mudah untuk dipahami.
Bukti dapat dipahami dengan hanya melihat dan mencermati diagram.

 

Keempat segitiga siku-siku pada persegi di kiri dan kanan adalah sama dan sebangun (kongruen). Dengan demikian, luas daerah yang tidak ditutupi oleh keempat segitiga siku-siku itu haruslah sama. Pada persegi di kiri diagram luasnya c2 dan persegi di kanan diagam luasnya a2 + b2 . 

Jadi, a² + b² = c²

Cara lain.

Dengan menggunakan diagram persegi yang kiri pada diagram bukti sebelumnya, kita pun dapat menurunkan Teorema Pythagoras, sebagai berikut: 

Luas persegi: karena sisinya a + b maka (a + b)² = a²+ 2ab + b2 …. (1) 

Luas persegi: karena terdiri dari persegi sisi c dan 4 segitiga siku-siku maka 

c² + 4.() = c² + 2ab …. (2) 

Dari (1) dan (2) diperoleh a²  + 2ab + b² = c² + 2ab yang dapat disederhanakan lagi menjadi: 

aa² + b² = c² (terbukti). 

2.Bukti dari Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X)

Perhatikan gambar di bawah, bangun ABCD berupa persegi dengan sisi c. 

Dengan konstruksi bangun tersebut maka: 

Luas PQRS + 4 × luas ABQ = luas ABCD

(b – a)² + 4 × 1/2. ab = c²

b² – 2ab + a² + 2ab =c²

a² + b² = c² (terbukti) 

3.Bukti dari J.A. Garfield (tahun 1876) 

Perhatikan gambar di bawah luas daerah trapesium di bawah dapat dihitung dengan dua cara hingga kita dapat membuktikan Teorema Pythagoras.

Luas trapesium = (alas + atas)/2. tinggi = (a + b)/2. (a + b). 

Di lain pihak, luas trapesium = 2. 1/2 ab + 1/2 c²

Sehingga, (a + b)/2. (a + b) = 2. 1/2 ab + 1/2 c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c² (terbukti)

4.Bukti dari Tsabit ibn Qurra (bukti II) 

Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar. 

Masih banyak bukti lain yang cukup terkenal seperti bukti dari Fibonacci (atau Leonardo de Pisa), bukti dari Euclid, bukti dari Dudeney, bukti dari Liu Hui, bukti dari an-Nairizi, dan bukti dari Pappus. Selain dari itu, Anda masih dapat menemukan puluhan bahkan ratusan bukti Teorema Pythagoras di internet. 

4.Kebalikan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan jika segitiga ABC siku-siku di C maka berlaku a²+b²=c².
Apakah berlaku sebaliknya? Jika pada segitiga ABC dipenuhi hubungan a²+b²=c² maka siku-siku di C?
Jawabnya adalah YA. 
Pernyataan terakhir dikenal dengan nama Kebalikan Teorema Pythagoras (Converse of Pythagorean Theorem). 

Berikut ini disajikan sebuah bukti Kebalikan Teorema Pythagoras.

Pada segitiga ABC dengan panjang sisi a, b dan c berlaku a²+b²=c², akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku di C. 

Buatlah segitiga A′BC dengan sudut A′CB siku-siku dan A′C = b . 

Misal A′B′ = x. Oleh karena segitiga A′BC siku-siku di A′CB maka menurut Teorema Pythagoras berlaku

aa²+b²=x² …(1) 

Di lain pihak, diketahui bahwa a²+b²=c² … (2) 

maka dari (1) dan (2) diperoleh x² = c² atau x = c. 

Jadi, AB = A′B′.
Dengan demikian, oleh karena semua sisinya sama panjang maka segitiga ABC identik atau kongruen dengan A′B′C. Ini berakibat sudut ACB juga siku-siku. (terbukti) 

KUIS 

Panjang sisi segitiga adalah x cm, (x + 1) cm dan (x + 2) cm. Berapa nilai x jika segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku?

A.3

B.6

C.5

D.4

Sebuah persegi ABCD memiliki panjang sisi 50 m. Panjang garis diagonalnya adalah 

A.23 m

B.45 m

C.70.7 m

D.50.5 m

Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi x dan (x - 7) serta memiliki panjang sisi miring 35, Berapa nilai x?

A.28

B.21

C.23

D.14

Kegiatan 4.3 Melukis Geometris

Tidak ada quis